Аналіз моделей оптимального плану виробництва
Анотація. Розглянуто задачу пошуку оптимального плану виробництва як складову більш загальної проблеми управління асортиментом виробничого підприємства. Визначено множину керуючих та керованих змінних, а також функціонал якості рішення. Представлено статичну та динамічну постановку відповідної математичної задачі та розглянуто алгоритми пошуку оптимального рішення.
Управління асортиментом підприємства є складною комплексною проблемою, яка може бути декомпозована на низку задач, таких як: аналіз користувачів продукції (клієнтів); аналіз конкурентів; аналіз постачальників; формування асортименту виробництва; планування виробництва; керування запасами та інш. Планування виробництва - це ключова задача в зазначеному переліку, яка передбачає визначення ресурсів, необхідних для виробництва товарів і послуг, встановлення виробничих цілей і розроблення плану досягнення цих цілей найефективнішим способом.
Виробничі цілі можна формально представити як цільовий вектор Х=(x_1^,…,x_n), де x_i^ - плановий (нормативний) об’єм випуску продукції i-го виду. На виготовлення продукції в ході виробничого процесу потрібно витратити певну кількість різноманітних ресурсів, обмежену деяким запасом: 〖(R〗_1,…,R_K) , R_j –максимальна наявна кількість j-го ресурсу. Виробництво здійснюється відповідно певним технологіям, отже відомими є унітарні витрати ресурсів кожного виду на виробництво кожного виду продукції. Ці витрати можна представити у вигляді матриці витрат A={a_ij}, де a_ij – витрати j-го ресурсу на виробництво i-го виду продукції. Для визначення оптимального плану виробництва потрібно обрати як мінімум один кількісний критерій оптимальності, використання якого дозволить порівнювати між собою різні варіанти рішення. Таким критерієм може виступати сукупний дохід. Якщо відомі ціни реалізації готової продукції с_1,…,с_n, сукупний дохід від реалізації n видів продукції у кількостях x_1,…,x_n можна записати у вигляді с_1 x_1+⋯+с_n x_n.
Таким чином, загальний вигляд задачі пошуку оптимального плану виробництва можна представити наступним чином: знайти максимум цільової функції \(F=∑_(i=1)^n▒〖с_i x_i 〗\) ,i=[1,n], маючі ресурсні обмеження \(∑_(i=1)^n▒〖a_ij x_i≤R_j 〗\), j=[1,K] та обмеження на припустимі значення обсягів виробництва \(〖x_i=x〗_i^*, i=[1,n]\). Останнє обмеження є досить жорстким, суттєво звужує простір припустимих рішень задачі та загалом може призвести до ситуації неможливості існування рішення. Дуже часто воно замінюється на менш жорсткі обмеження виду \(〖x_i≥x〗_i^*\), або \(〖〖0≤x〗_i≤x〗_i^*\), або x_i≥0. В такому вигляді отримана математична задача є лінійною задачею оптимізації, яка може бути розв’язана симплексним методом.
Часто до сформульованої задачі додається додаткова умова цілочисельності змінних x_i. В цьому випадку рішення може бути знайдено методом Гоморі або методом гілок та границь[1-3].
Для представленої вище задачі пошуку оптимального плану виробництва може бути сформульована так звана двоїста задача, рішення якої дозволяє провести додатковий аналіз проблеми. Для двоїстої задачі у якості незалежних змінних розглядаються унітарні ціни на ресурси y_1,…,y_K, а у якості цільової фунуції - сукупна вартість наявного запасу ресурсів. Загальний вигляд задачі представлено нижче.
Знайти мінімум сукупної вартості реcурсів \(Z=∑_(j=1)^K▒〖R_j y_j 〗\) ,j=[1,K], при обмеженнях на загальну собівартість вартість одиниці кожного виду продукції: \(∑_(j=1)^K▒〖a_ij y_j≥с_i 〗\), i=[1,n], та обмеженнях невід’ємності цін на ресурси: y_j≥0.
Сформульована двоїста задача також є лінійною оптимізаційною задачею, тому також може бути розв’язана симплексним методом.
Пара двоїстих задач має низку властивостей, які дозволяють, по-перше, безпосередньо розв’язувати симплексним методом лише одну задачу з пари. При цьому автоматично в знайденому рішенні міститься рішення другої задачі.
По-друге, дослідник отримує додаткові інструменти для розширеного аналізу. Так, наприклад, можна дати змістовну інтерпретацію оптимальним значенням змінних y_1,…,y_K: якщо оптимальне значення y_j=0 , j-й ресурс не повністю використовується за оптимального плану виробництва продукції; якщо оптимальне значення y_j>0, ресурс є дефіцитним, тобто його запас R_j повністю використано. Величина y_j>0 показує, на скільки зростає максимальне значення сукупного доходу за збільшення кількості ресурсу відповідного виду на одиницю.
Додатково можна визначити границі зміни запасів кожного j-го ресурсу, в межах яких величина y_j залишиться незмінною, а також границі зміни цін реалізації за кожним видом продукції, в межах яких оптимальний план виробництва залишиться незмінним.
Сформульована задача не містить у своїй постановці фактор часу, і це часто є одною з найсуттєвіших перешкод її практичної імплементації. Альтенативою є формулювання задачі в динамічній постановці:
\(W_i (S_i )=(max)┬(U_i )〖(w_i (S_i,U_i )+W_(i+1) (g_i (S_i,U_i )))〗\)
де W_i (S_i ) - умовний оптимальний дохід, w_i (S,U_i ) – дохід на поточному і-му кроці, S_i – змінна стану системи, U_i - змінна управління системи.
У представленій формуліровці задача може бути вирішена за допомогою алгоритму динамічного програмування. Суть алгоритму полягає в тому, що аихідна проблема іентерпретується як багатокроковий процес прийняття рішень. При цьому множина параметрів, якими описується стан системи та від яких залежить оптимальна поведінка, не змінюється при переході від одного кроку до іншого, а вибір рішення на кожному кроці не впливає на попереднє рішення, крім необхідного перерахунку змінних.
Література
- Математичні методи дослідження операцій : підручник / Є. А. Лавров, Л. П. Перхун, В. В. Шендрик та ін. Суми : Сумський державний університет, 2017. 212 с.
- Математичні методи дослідження операцій. Лінійне програмування. Частина 1 : навчальний посібник / А. А. Яровий, Л. М. Ваховська, Л. В. Крилик. Вінниця : ВНТУ, 2020. 86 с.
- Методи оптимізації та дослідження операцій: навчальний посібник / Укладачі: Я. Б. Сікора, А.Й. Щехорський, Б.Л. Якимчук. Житомир: Вид-во ЖДУ ім. Івана Франка, 2019. 148 с.